¿Un equipo de matemáticos acaba de dar un gran paso para responder una pregunta de un millón de dólares en matemática?
Tal vez. La tripulación resolvió varias otras preguntas más pequeñas en un campo llamado teoría de números. Y al hacerlo, han reabierto una antigua vía que podría dar lugar a una respuesta a la vieja pregunta: ¿Es correcta la hipótesis de Riemann?
La hipótesis de Reimann es una conjetura matemática fundamental que tiene enormes implicaciones para el resto de las matemáticas. Forma la base de muchas otras ideas matemáticas, pero nadie sabe si es verdad. Su validez se ha convertido en una de las preguntas abiertas más famosas en matemáticas. Es uno de los siete "Problemas del Milenio" establecidos en 2000, con la promesa de que quien los resuelva ganará $ 1 millón. (Solo uno de los problemas ha sido resuelto).
¿De dónde vino esta idea?
En 1859, un matemático alemán llamado Bernhard Riemann propuso una respuesta a una ecuación matemática particularmente espinosa. Su hipótesis es la siguiente: la parte real de cada cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2. Esa es una declaración matemática bastante abstracta, que tiene que ver con qué números puedes poner en una función matemática particular para hacer que esa función sea igual a cero. Pero resulta muy importante, lo más importante con respecto a las preguntas sobre con qué frecuencia encontrará números primos a medida que cuenta hacia el infinito.
Volveremos a los detalles de la hipótesis más adelante. Pero lo importante que debe saber ahora es que si la hipótesis de Riemann es cierta, responde muchas preguntas en matemáticas.
"Muy a menudo en la teoría de números, lo que termina sucediendo es que si asumes la hipótesis de Riemann, podrás probar todo tipo de otros resultados", dijo Lola Thompson, teórica de números en el Oberlin College en Ohio, que no estuvo involucrada en esta última investigación, dijo.
A menudo, le dijo a Live Science, los teóricos de los números primero probarán que algo es cierto si la hipótesis de Riemann es cierta. Luego usarán esa prueba como una especie de trampolín hacia una prueba más intrincada, que muestra que su conclusión original es cierta independientemente de si la hipótesis de Riemann es cierta o no.
El hecho de que este truco funcione, dijo, convence a muchos matemáticos de que la hipótesis de Riemann debe ser cierta.
Pero la verdad es que nadie lo sabe con certeza.
¿Un pequeño paso hacia una prueba?
Entonces, ¿cómo este pequeño equipo de matemáticos parece acercarnos a una solución?
"Lo que hemos hecho en nuestro trabajo", dijo Ken Ono, un teórico de números de la Universidad de Emory y coautor de la nueva prueba, "es que revisamos un criterio muy técnico que es equivalente a la hipótesis de Riemann ... y probamos un gran parte de él. Probamos una gran parte de este criterio ".
Un "criterio que es equivalente a la hipótesis de Riemann", en este caso, se refiere a una declaración separada que es matemáticamente equivalente a la hipótesis de Riemann.
No es obvio a primera vista por qué las dos declaraciones están tan conectadas. (El criterio tiene que ver con algo llamado la "hiperbolicidad de los polinomios de Jensen".) Pero en la década de 1920, un matemático húngaro llamado George Pólya demostró que si este criterio es verdadero, entonces la hipótesis de Riemann es verdadera, y viceversa. Es una vieja ruta propuesta para probar la hipótesis, pero que había sido abandonada en gran medida.
Ono y sus colegas, en un artículo publicado el 21 de mayo en la revista Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS), demostraron que, en muchos, muchos casos, el criterio es verdadero.
Pero en matemáticas, muchos no son suficientes para contar como prueba. Todavía hay algunos casos en los que no saben si el criterio es verdadero o falso.
"Es como jugar un Powerball de un millón de números", dijo Ono. "Y conoces todos los números, excepto los últimos 20. Si incluso uno de esos últimos 20 números está mal, pierdes ... Todo podría desmoronarse".
Los investigadores tendrían que presentar una prueba aún más avanzada para demostrar que el criterio es verdadero en todos los casos, lo que demuestra la hipótesis de Riemann. Y no está claro qué tan lejos está esa prueba, dijo Ono.
Entonces, ¿qué tan importante es este artículo?
En términos de la hipótesis de Riemann, es difícil decir cuán importante es esto. Mucho depende de lo que suceda después.
"Esta es solo una de las muchas formulaciones equivalentes de la hipótesis de Riemann", dijo Thompson.
En otras palabras, hay muchas otras ideas que, como este criterio, probarían que la hipótesis de Riemann es cierta si ellos mismos fueran probados.
"Entonces, es realmente difícil saber cuánto progreso es esto, porque por un lado ha progresado en esta dirección. Pero, hay tantas formulaciones equivalentes que tal vez esta dirección no va a producir la hipótesis de Riemann. Quizás una de los otros teoremas equivalentes, en cambio, lo harán, si alguien puede probar uno de esos ", dijo Thompson.
Si la prueba aparece en este camino, eso probablemente significará que Ono y sus colegas han desarrollado un marco subyacente importante para resolver la hipótesis de Riemann. Pero si aparece en otro lugar, entonces este documento será menos importante.
Aún así, los matemáticos están impresionados.
"Aunque esto está lejos de probar la hipótesis de Riemann, es un gran paso adelante", escribió Encrico Bombieri, un teórico de los números de Princeton que no participó en la investigación del equipo, en un artículo del PNAS del 23 de mayo. "No hay duda de que este documento inspirará más trabajo fundamental en otras áreas de la teoría de números, así como en la física matemática".
(Bombieri ganó una Medalla Fields, el premio más prestigioso en matemáticas, en 1974, en gran parte por el trabajo relacionado con la hipótesis de Riemann).
¿Qué significa la hipótesis de Riemann de todos modos?
Prometí que volveríamos a esto. Aquí está la hipótesis de Riemann nuevamente: la parte real de cada cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2.
Analicemos eso de acuerdo a cómo Thompson y Ono lo explicaron.
Primero, ¿cuál es la función zeta de Riemann?
En matemáticas, una función es una relación entre diferentes cantidades matemáticas. Una simple podría verse así: y = 2x.
La función zeta de Riemann sigue los mismos principios básicos. Solo que es mucho más complicado. Así es como se ve.
Es una suma de una secuencia infinita, donde cada término - los primeros son 1/1 ^ s, 1/2 ^ sy 1/3 ^ s - se agrega a los términos anteriores. Esas elipses significan que la serie en la función continúa así, para siempre.
Ahora podemos responder la segunda pregunta: ¿Qué es un cero de la función zeta de Riemann?
Esto es mas facil. Un "cero" de la función es cualquier número que puede poner para x que hace que la función sea igual a cero.
Siguiente pregunta: ¿Cuál es la "parte real" de uno de esos ceros, y qué significa que es igual a 1/2?
La función zeta de Riemann implica lo que los matemáticos llaman "números complejos". Un número complejo se ve así: a + b * i.
En esa ecuación, "a" y "b" representan cualquier número real. Un número real puede ser desde menos 3, hasta cero, hasta 4.9234, pi o mil millones. Pero hay otro tipo de número: números imaginarios. Los números imaginarios surgen cuando tomas la raíz cuadrada de un número negativo, y son importantes, y se muestran en todo tipo de contextos matemáticos.
El número imaginario más simple es la raíz cuadrada de -1, que se escribe como "i". Un número complejo es un número real ("a") más otro número real ("b") multiplicado por i. La "parte real" de un número complejo es esa "a".
Algunos ceros de la función zeta de Riemann, enteros negativos entre -10 y 0, no cuentan para la hipótesis de Reimann. Estos se consideran ceros "triviales" porque son números reales, no números complejos. Todos los otros ceros son números "no triviales" y complejos.
La hipótesis de Riemann establece que cuando la función zeta de Riemann cruza cero (a excepción de los ceros entre -10 y 0), la parte real del número complejo tiene que ser igual a 1/2.
Ese pequeño reclamo puede no parecer muy importante. Pero es. Y podemos estar un poco más cerca de resolverlo.
